问：随机在0到1之间取数，当第n次取到的数小于等于前n-1次取到的数中的任何一个时停止，求n的期望。 答案：e。解释：另Pn为停止时次数为n的概率，则这个E(n)=1*P1+2*P2+3*P3+…+n*Pn+…。下面将这组数分组，化为:E(n)=(P1+P2+P3+…)+(P2+P3+P4+…)+(P3+P4+P5+…) …。这样就得到了E(n)=P(n>=1)+P(n>=2)+P(n>=3)+…。考虑到前两项的值应为1，因为无论如何游戏进行的次数不可能小于二次。而P(n>=3)=1/2!。原因是若n>=3则前两个数必须单调递减，因此前两个数排列方式有2!种，因而概率为1/2!。n>=k时同理，若n>=k,则前k-1项必须单调递减，因此概率为1/(k-1)!。因此E(n)=1+1/1!+1/2!+1/3!+…=e。这个神奇的结论就得到了，貌似原题叙述的停止条件是第n个数小于前n-1个数中的任何一个，但如果这样叙述，前k个数单调的可能情况就不是1因此概率也就不数1/k!。因而改成小于等于。原文地址是:http://mindyourdecisions.com/blog/2010/11/16/an-interesting-probability-game/