问：随机在0到1之间取数，当第n次取到的数小于等于前n-1次取到的数中的任何一个时停止，求n的期望。
答案：e。
解释：另Pn为停止时次数为n的概率，则这个E(n)=1*P1+2*P2+3*P3+…+n*Pn+…。下面将这组数分组，化为:E(n)=(P1+P2+P3+…)+(P2+P3+P4+…)+(P3+P4+P5+…) …。这样就得到了E(n)=P(n>=1)+P(n>=2)+P(n>=3)+…。考虑到前两项的值应为1，因为无论如何游戏进行的次数不可能小于二次。而P(n>=3)=1/2!。原因是若n>=3则前两个数必须单调递减，因此前两个数排列方式有2!种，因而概率为1/2!。n>=k时同理，若n>=k,则前k-1项必须单调递减，因此概率为1/(k-1)!。因此E(n)=1+1/1!+1/2!+1/3!+…=e。
这个神奇的结论就得到了，貌似原题叙述的停止条件是第n个数小于前n-1个数中的任何一个，但如果这样叙述，前k个数单调的可能情况就不是1因此概率也就不数1/k!。因而改成小于等于。
原文地址是:http://mindyourdecisions.com/blog/2010/11/16/an-interesting-probability-game/
11 replies on “诡异的e”
因为无论如何游戏进行的次数不可能小于三次 –> 0.2,0.1 不就结束了吗？ –> 不可能小于两次。
小于为什么单调情况不是一个呢？——没跟上……
其实想知道，对于无限个数，小于和小于等于是不是应该给出同样的结果呢？
另外，我去点了一下开始听歌，发现居然是弹出窗口，额恩……
re:问题出在如果是小于，那么0.1，0.1，0.2这三个数单调就有两种，因为事实上你在排列时0.1，0.1，0.2和0.1 0.1 0.2是不同的。所以如果是小于的，如果出现了一对相等的，那么概率就不是1/k!了，而是2/k!。
re:另外小于三那个确实是错了，脑袋昏了吧。音乐弹出我也很无奈，这是个成品模块。
en,明白你的point.这个在有限数集里比较重要，在无限集合里可能不那么重要，不过还是有道理的:-)
其实1g没有code可以直接copy进来的吗？
另外我刚刚意识到，其实我打回车是没有用的:-)
re:无穷…评论的编码里回车跟空格是等价的…
en..好吧，那就没办法了:-)那我以后分两条回复。
要不我改，增加个换行。
你还真是个好用户，你搞软件测试肯定牛
re:可以换行了
恩，做为用户，我挑剔了些……不过我讨厌软件工程……没碰到一个好老师，导致我们software design course生产了副能量……
负能量……
Test